Valor Absoluto y Funciones Definidas por Partes

Si el centro o ancla está en h = 2 y caminás hasta x = −3, la resta con signo da x − h = (−3) − 2 = −5 (el signo menos indica que fuiste hacia la izquierda). Pero una cinta métrica nunca mide distancias negativas: cuando el interior es negativo, el valor absoluto activa la máquina inversora −(−5) = +5 unidades de separación. Cuando coincidís con el ancla (x = h), la distancia es el neutro aditivo |0| = 0.

Por eso la ecuación |x − 2| = 5 pregunta: «¿Qué puntos de la recta están a 5 pasos del 2?». Hay dos respuestas simétricas: caminando 5 a la derecha (2 + 5 = 7) y caminando 5 a la izquierda (2 − 5 = −3).

Para cualquier x ≥ 0 (a la derecha del origen), la recta y = x ya tiene altura positiva o cero, así que queda intacta con pendiente +1. Pero para x < 0 (a la izquierda del origen), la recta original tendría alturas negativas como (−3, −3); el valor absoluto multiplica esas alturas por −1 y las rebota a (−3, +3) sobre la semirrecta y = −x de pendiente −1.

Mirá por qué el signo horizontal parece «al revés» y el vertical «al derecho»: la punta de la V ocurre siempre cuando el interior de las barras vale |0| = 0. En f(x) = |x − 4| − 2, para que x − 4 = 0 necesitamos poner x = +4 (el vértice se corrió 4 a la derecha). En ese instante queda f(4) = |0| − 2 = −2 (el vértice bajó 2 unidades). Tocá cada pieza de la fórmula:

Si desde el vértice caminás Δx = +1 unidad hacia la derecha, la rama sube o baja exactamente Δy = a unidades:

• Si |a| > 1 (ej. a = 2 o a = −3): estiramiento vertical, la V es más cerrada y empinada que |x|.
• Si 0 < |a| < 1 (ej. a = 12): compresión vertical, la V es más ancha y achatada.
• Si a < 0: reflexión respecto a la horizontal del vértice; la V se invierte como un techo ∧ y alcanza un máximo absoluto en y = k.

Supongamos que ves una gráfica cuyo vértice está en V(3, 4) y cuyas ramas pasan por P(5, 0). En dos pasos hallás su ecuación canónica:

1. Con el vértice (h, k) = (3, 4) armás el esqueleto: f(x) = a|x − 3| + 4.
2. Sustituís el punto (5, 0): 0 = a|5 − 3| + 4 ⇒ 2a = −4 ⇒ a = −2. Resultado: f(x) = −2|x − 3| + 4.

Para abrir las barras de f(x) = |x − 3| + 2, primero buscamos dónde cambia de signo el interior: x − 3 = 0 ⇒ x = 3. Eso divide la recta en dos zonas:

Además, si dentro de las barras aparece un coeficiente multiplicando a x como en f(x) = |2x − 6| + 1, factorizalo antes de leer el vértice: |2(x − 3)| + 1 = |2|·|x − 3| + 1 = 2|x − 3| + 1. El vértice está en h = 3, ¡no en 6!

Analicemos f(x) = |x − 2| − 3 (con vértice en (2, −3) y a = 1 > 0):

• Dominio: Dom(f) = ℝ (podemos evaluar cualquier x real).
• Imagen (eje Y): Como el piso está en k = −3 y abre hacia arriba, Im(f) = [−3, +∞).
• Monotonía (eje X): Baja hasta la abscisa del vértice h = 2 y sube después: I↓ = (−∞, 2) e I↑ = (2, +∞).
• Ceros C⁰ (f(x) = 0): |x − 2| − 3 = 0 ⇒ |x − 2| = 3 ⇒ x = −1 y x = 5.
• Positividad C⁺ y Negatividad C⁻: La V se hunde bajo el eje X entre sus dos raíces, por lo que C⁻ = (−1, 5) y C⁺ = (−∞, −1) ∪ (5, +∞).

Mirá esta función de tres tramos. Si querés calcular f(0), no reemplazás el 0 en los tres renglones: te fijás que −1 ≤ 0 < 2 se cumple únicamente en el segundo renglón, y evaluás f(0) = −(0) + 1 = 1:

En una frontera x = c donde se encuentran dos tramos con distinta altura pueden ocurrir tres situaciones:

• Un y un (Función válida con salto): Exactamente una rama incluye a c. Cumple unicidad y c pertenece al dominio.
• Dos abiertos (Función con hueco en el dominio): Ninguna rama incluye a c. Sigue siendo función, pero Dom(f) = ℝ − {c}.
• Dos cerrados a distinta altura (NO es función): La recta vertical x = c corta dos veces a la gráfica. Viola la definición de función.

En f(x) = ⌊x⌋, para todo número en el intervalo semiabierto [2, 3) (como 2, 2,4 o 2,99), la salida vale constantemente 2. Eso dibuja un escalón horizontal con punto lleno a la izquierda en (2, 2) y círculo abierto a la derecha en (3, 2). En los enteros exactos, piso y techo coinciden: ⌊3⌋ = ⌈3⌉ = 3. Además, como la altura sólo toma valores aislados, su imagen se escribe entre llaves {…} y nunca como intervalo continuo.