Laboratorio de Sucesiones
De la intuición a la fórmula: pensá cada sucesión como una función de dominio discreto.
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla o patrón, donde cada número ocupa una posición fija llamada término.
Imaginá una fila de postes numerados: 3, 5, 7…. Cada número es un término. El primer término es 3, el segundo es 5 y el tercero es 7. Los puntos suspensivos … significan que la lista continúa indefinidamente.
Elegí un patrón de avance y completá los postes que faltan escribiendo el número correspondiente:
No confundas la posición de un término con el valor de ese término. En la sucesión 3, 5, 7…, en la posición 1 está el valor 3, en la posición 2 está el valor 5. El número de término siempre es un conteo ordinal (1.º, 2.º, 3.º…).
¿Qué es una sucesión aritmética? La diferencia común
En una sucesión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es siempre el mismo número constante, llamado diferencia común (d).
Cuando el patrón de avance involucra sumar o restar una cantidad fija a cada término para obtener el siguiente, la lista se llama sucesión aritmética.
La diferencia común (d) es la resta entre cualquier término y el término inmediatamente anterior:
3, 5, 7, 9…es aritmética con diferencia constante d = +2 (creciente: cada término es mayor que el anterior).21, 16, 11, 6…es aritmética con diferencia constante d = −5 (decreciente: al sumar un número negativo, los términos disminuyen).−2, −5, −8, −11…es aritmética con diferencia constante d = −3 (decreciente).
El contraejemplo clave: la sucesión 1, 2, 4, 8… no es aritmética, porque sus diferencias consecutivas son +1, +2, +4 (no son constantes). En cambio, su cociente entre términos consecutivos sí es constante (× 2), lo que anticipa a las sucesiones geométricas con razón común (r = 2).
Bajo la cinta de postes del Detective de Patrones, analizá en simultáneo la fila de diferencias y la fila de cocientes para ver cuál de las dos se vuelve constante:
Cuando una sucesión aritmética decrece, la diferencia común es negativa. En 21, 16, 11, 6… no digas «la diferencia es 5»: la diferencia es exactamente d = −5, porque 16 − 21 = −5.
Una sucesión es una función
Una sucesión es una función matemática donde la entrada n solo puede ser un número entero positivo: su gráfica no es una línea continua, sino puntos aislados.
En álgebra convencional escribimos f(x). En sucesiones preferimos escribir a(n) (o la notación de subíndice an). Usamos a(n) porque resalta que la sucesión es una función: a cada número de término natural n ∈ ℕ = {1, 2, 3…} le corresponde una única salida a(n).
El dominio son exclusivamente los enteros positivos: no existe el término «menos cinco» ni el término «0,4» de una sucesión.
Arrastrá el cursor sobre el gráfico. Observá qué ocurre en los valores enteros y qué aviso aparece cuando intentás evaluar en valores decimales:
No confundas a(n − 1) con a(n) − 1:
- a(n − 1) es el término anterior (un escalón antes en la lista).
- a(n) − 1 es restarle 1 al valor numérico del término actual.
Fórmulas recursivas: «la escalera»
La fórmula recursiva te dice dónde arrancar (el primer escalón) y cuánto sumarle al escalón anterior para subir al siguiente.
Para llegar al término 100 subiendo por la escalera recursiva, ¡necesitás calcular previamente los 99 términos anteriores! Por eso las fórmulas recursivas son ideales para entender el paso a paso, pero lentas para llegar lejos.
Fórmulas explícitas: «el teletransportador»
La fórmula explícita calcula directamente cualquier término a(n) en un solo renglón sumando al primer término n − 1 saltos iguales.
¿Por qué multiplicamos por (n − 1) y no por n? Porque en el 1.er término ya estás en la salida: diste 0 saltos. Si tenés n postes, la cantidad de espacios o saltos entre ellos siempre es n − 1.
Usar el teletransportador al revés
Despejando n podés saber en qué poste cae un número dado o reconstruir la diferencia común a partir de dos términos lejanos.
Para averiguar si un valor pertenece a la sucesión, planteás la ecuación y despejás n mediante propiedad uniforme. Si n resulta ser un entero positivo, pertenece; si da con coma, cae en el vacío entre postes.
Al calcular la diferencia común entre dos postes lejanos como a(1) = 5 y a(10) = 59, dividí por la cantidad de saltos (10 − 1 = 9), no por 10:
d = a(10) − a(1)10 − 1 = 549 = 6
Fórmulas equivalentes y el error típico
Una misma sucesión puede escribirse de formas equivalentes; pero solo la fórmula estándar te muestra el primer término a simple vista.
Para 2, 8, 14… (k = 2, d = 6):
Fórmula estándar: 2 + 6(n − 1).
Al quitar paréntesis: 2 + 6n − 6 = −4 + 6n.
¡Ambas fórmulas generan exactamente los mismos números!
Escribir 2 + 6n NO da la sucesión 2, 8, 14…: en n = 1 da 2 + 6 = 8, empezando un salto corrida. Si querés hallar el primer término en una fórmula que no sea estándar, estás obligado a evaluar en n = 1.
Convertir entre recursiva y explícita
La Piedra de Rosetta de las sucesiones: cómo traducir entre la cinta, la tabla, la llave recursiva y las fórmulas explícitas.
Si la fórmula explícita está simplificada (como a(n) = 1 + 4n), hallás a(1) = 5 y a(2) = 9. La diferencia es 9 − 5 = 4, obteniendo inmediatamente la recursiva.
En fórmulas simplificadas como a(n) = 23 − 6n, el número 23 no es el primer término: es el valor imaginario en n = 0. El primer término real es a(1) = 23 − 6(1) = 17.
Sucesiones geométricas: el espejo multiplicativo
En las geométricas la suma repetida (+d) se transforma en multiplicación repetida (×r), y el neutro aditivo 0 se convierte en el neutro multiplicativo 1.
La fórmula explícita estándar de una sucesión geométrica tiene la forma:
Puente 1: De «dividir entre b» a «multiplicar por la fracción 1/b»
En el álgebra de sucesiones nunca usamos el signo de división directa en la razón. Dividir repetidamente entre un número equivale a multiplicar por su recíproco fraccionario:
- En
40, 20, 10, 5…dividir entre 2 equivale a multiplicar por 12: a(n) = 40 · (12)n − 1. - En
54, 18, 6, 2…dividir entre 3 equivale a multiplicar por 13: a(n) = 54 · (13)n − 1.
Puente 2: Equivalencia algebraica en geométricas
En el caso de Khan Academy 1/2, 2, 8, 32… (primer término 12 y razón r = 4):
Ambas formas son matemáticamente idénticas: la forma estándar 1/2 · 4ⁿ⁻¹ hace visible el primer término y la razón; la simplificada 1/8 · 4ⁿ compacta los coeficientes numéricos.
En las fórmulas geométricas nunca escribimos el signo de dividir: dividir por 3 en cada salto es exactamente igual a multiplicar por la fracción 13.
El radar de la razón r: signos negativos y la trampa de los paréntesis
Una razón negativa hace que los términos alternen de signo (+, −, +, −) y exige obligatoriamente paréntesis en la base para no violar la jerarquía de potencias.
El valor de la razón común (r) define cuatro comportamientos cualitativos totalmente diferentes:
- r > 1 (ej. r = 2): Crecimiento exponencial veloz hacia +∞.
- 0 < r < 1 (ej. r = 1/4 = 0,25): Decaimiento hacia 0; los términos se achican sin cambiar de signo.
- −1 < r < 0 (ej. r = −0,5): ¡Alternancia de signos amortiguada! Rebota entre positivo y negativo acercándose a 0.
- r < −1 (ej. r = −5): ¡Alternancia de signos divergente! Rebota entre positivo y negativo con saltos gigantescos hacia ±∞.
Trampa Crítica 1: Paréntesis obligatorios en bases negativas
En el caso de Khan Academy a(n) = 8 · (−5)n − 1:
| Posición | Con paréntesis: 8 · (−5)ⁿ⁻¹ | Sin paréntesis: 8 · −5ⁿ⁻¹ (¡Error!) |
|---|---|---|
| n = 1 | 8 · (−5)⁰ = 8 · 1 = +8 | 8 · −(5⁰) = 8 · (−1) = −8 |
| n = 2 | 8 · (−5)¹ = 8 · (−5) = −40 | 8 · −(5¹) = 8 · (−5) = −40 |
| n = 3 | 8 · (−5)² = 8 · 25 = +200 | 8 · −(5²) = 8 · (−25) = −200 |
| n = 4 | 8 · (−5)³ = 8 · (−125) = −1000 | 8 · −(5³) = 8 · (−125) = −1000 |
Sin paréntesis, la potencia tiene mayor jerarquía que el signo menos: −5ⁿ⁻¹ significa −(5ⁿ⁻¹), dejando todos los términos negativos y arruinando la alternancia.
Trampa Crítica 2: Por qué con r < 0 no existe curva continua real
Si intentás graficar una función exponencial continua f(x) = 8 · (−5)x − 1 y evaluar en un punto decimal intermedio como x = 1,5, tendrías:
¡La raíz cuadrada de un número negativo no existe en los números reales! Por eso, cuando r < 0, la sucesión solo existe como puntos discretos aislados; no existe ninguna curva continua real que los conecte.
Al escribir fórmulas en el teclado, nunca omitas los paréntesis: escribí siempre 8 * (-5)^(n - 1). Escribir 8 * -5^(n - 1) será marcado inmediatamente como error de jerarquía por el evaluador.
Modelado: Ahorro fijo vs. Interés compuesto
Sumar un monto fijo cada año es una sucesión aritmética; sumar un porcentaje sobre el saldo acumulado es una sucesión geométrica.
En el problema de Caden: guardar $70 y ganar el 10% anual significa conservar el 100% de lo que tenías más el 10%: 1 + 0,10 = 1,10. La razón común es r = 1,1.
Multiplicar por 0,10 te da solo el interés ganado, ¡pero le destruye el 90% del dinero a Caden! Para modelar el saldo total, siempre multiplicás por (1 + i) = 1,10.
Puente a Análisis I: ¿A dónde va cuando n → ∞?
Si la razón común está estrictamente entre −1 y 1 (|r| < 1), los términos se achican indefinidamente acercándose a cero: la sucesión converge.
En 64, 16, 4, 1, 1/4, 1/16… cada término es un cuarto del anterior. A medida que n crece hacia infinito, los puntos se aplastan contra el eje horizontal sin tocarlo jamás: limn→∞ a(n) = 0.
No digas que el término en el infinito «es cero». Cada término individual para cualquier n finito es un número positivo estrictamente mayor a 0; el límite describe la tendencia matemática hacia donde apuntan.
Entrenador y Trampas Clásicas de Examen
Practicá con ejercicios generados a partir de semillas deterministas y ponete a prueba con las 5 trampas conceptuales más comunes de los exámenes de Khan Academy.
Hoja de Repaso: Aritmética vs. Geométrica
Cuadro comparativo para consultar, descargar o imprimir antes de un examen.
| Concepto | Sucesión Aritmética | Sucesión Geométrica |
|---|---|---|
| Patrón de avance | Suma o resta constante: + d |
Multiplicación constante: × r (dividir entre b es × 1/b) |
| Primer término | a(1) = k |
a(1) = k |
| Paso común | Diferencia común d = a(n) − a(n − 1) |
Razón común r = a(n) / a(n − 1) |
| Fórmula recursiva | a(1) = ka(n) = a(n − 1) + d |
a(1) = ka(n) = a(n − 1) · r |
| Fórmula explícita estándar | a(n) = k + d(n − 1) |
a(n) = k · r^(n − 1) |
| Neutro en n = 1 | 0 saltos: + 0 · d (neutro aditivo) |
0 saltos: · r⁰ = · 1 (neutro multiplicativo) |
| Fórmula simplificada | a(n) = c₀ + d·n (donde c₀ = k − d) |
a(n) = c₀ · rⁿ (donde c₀ = k / r) |
| Regla de oro de examen | k + d·n NO es la sucesión (está corrida un paso). |
Si r < 0, los paréntesis en (−r)^(n − 1) son obligatorios. |